Calcolo delle probabilitÓ:
possibilitÓ di decodifica

 

    INDICE:

 

    Definizioni

    ProbabilitÓ di decifratura

 

La statistica, ma soprattutto il calcolo delle probabilitÓ, hanno un ruolo molto importante nel campo della crittografia. Infatti il riuscire a calcolare la probabilitÓ di decodifica di un messaggio con un certo algoritmo, ci pu˛ dare un' indicazione sulla sicurezza pi¨ o meno alta del crittosistema che stiamo utilizzando

 

DEFINIZIONI

    Definizione di statistica

La statistica Ŕ la scienza che studia con metodi matematici i fenomeni collettivi interessanti un gran numero di individui o di oggetti. Concetti basilari della statistica sono quelli di frequenza relativa e assoluta, collegati al calcolo delle probabilitÓ ed alla legge dei grandi numeri.

La statistica consente anche di stabilire le correlazioni esistenti in media tra fenomeni o fatti che non si rivelano dall'esame di casi singoli. Fare una statistica comporta la raccolta, la classificazione e l'analisi dei dati per formare percentuali, medie, indici e finalmente l'esposizione mediante una tabella numerica o un diagramma ottenuto con l'impiego di linee e figure geometriche (istogrammi, diagrammi a torta, ...).

    Definizione di probabilitÓ

La probabilitÓ di un evento Ŕ definita come il rapporto fra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un dato evento e il numero di quelli possibili, purchŔ siano tutti tra loro equivalenti. La probabilitÓ Ŕ quindi un numero sempre compreso tra 0 e 1 e pu˛ essere anche posto come una misura in percentuale.

Il calcolo delle probabilitÓ Ŕ allora quella parte della Matematica che si occupa del concetto di probabilitÓ e che permette di calcolare la probabilitÓ di eventi semplici e composti, sotto varie condizioni.

    La legge empirica del caso

La legge pi¨ importante del calcolo delle probabilitÓ Ŕ la legge empirica del caso o legge dei grandi numeri, che stabilisce una relazione fra la probabilitÓ teorica di un evento e la frequenza statistica con cui quell'evento si verifica. Tale legge enuncia:

All'aumentare del numero di prove, la frequenza relativa dell'evento si avvicina sempre pi¨ alla probabilitÓ teorica.

Storicamente, la fondazione del calcolo delle probabilitÓ si attribuisce a Blaise Pascal e a Pierre de Fermat, che ne enunciarono alcuni concetti fondamentali a proposito di varie questioni sui giochi d'azzardo. La sistemazione teorica Ŕ dovuta soprattutto a Pierre Simon de Laplace.

    La frequenza statistica

In statistica si definiscono 2 tipi di frequenze:

Se chiamiamo quindi frequenza relativa f tale rapporto, ponendo

f = numero esiti favorevoli /numero prove eseguite

La legge empirica del caso, o legge dei grandi numeri, ci permette di affermare che la frequenza f corrisponde con la probabilitÓ dell'evento, purchŔ il numero di prove sia molto grande.

 

PROBABILITA' DI DECIFRATURA
    Sistemi a chiave privata

Se una spia intercetta un messaggio creato con chiave privata, e intercetta anche la 

chiave segreta, Ŕ assai alta la possibilitÓ di recuperare il testo in chiaro. A volte basta semplicemente confrontare e tentare di creare una corrispondenza tra carattere e cifra.

 

Ma se l'individuo non intercetta la chiave, la probabilitÓ di decifratura risulta quasi nulla in quanto a differenza dei sistemi a chiave pubblica, non si conosce l'algoritmo con cui Ŕ stato cifrato il messaggio, e all'intercettatore non resta che procedere per tentativi.

Questi variano a seconda della struttura del testo crittografato.

 

Per una maggiore comprensione facciamo un esempio con l'algoritmo CST da me ideato.

Se la spia intercetta il pacchetto dati corrispondente a: [0926263126310998095405099898860111], tenterÓ di riprodurre il testo analizzando la sequenza di numeri raggruppandoli prima in coppie, poi in terne e cosý via, finchŔ non ottiene il messaggio originale.

 

Rifacendoci all'esempio visto, chi tenta di decifrare il messaggio inizierÓ a raggruppare le cifre due in due:

[(09),(26),(26),(31),(26),(31),(09),(98),(09),(54),(05),(09),(98),(98),(86),(01),(11)]

essendo l'esempio molto semplice si nota subito una certa ripetizione della sequenza (09), (98) e (26).

 

A questo punto la spia andando per tentativi prova a sostituire a (09), che Ŕ il pi¨ ripetuto, una vocale, e piano piano ricrea il testo. Sono comunque varie le combinazioni di testi che si possono creare con questa sequenza, quindi la spia non sarÓ mai sicura di aver riportato correttamente il testo in chiaro.
    Sistemi a chiave pubblica

La cifratura Ŕ un particolare tipo di computazione e quasi tutti i crittosistemi moderni (RSA, DES, HASH, ...) basano la loro sicurezza sulla difficoltÓ di computazione. Questo rende la probabilitÓ di decifratura prossima allo zero. Inoltre le trasformazioni operate nei dati sono cosý complesse da rendere economicamente proibitivo per una spia il processo di ritraduzione.

 

Supponendo di disporre di una capacitÓ di calcolo illimitata questi sistemi potrebbero venir forzati, infatti il numero dei possibili testi in chiaro Ŕ enorme, ma finito. Dato per˛ che un'impostazione di questo genere richiederebbe un tempo di calcolo di lunghezza al di fuori di ogni possibile considerazione, i sistemi a chiave pubblica si possono ritenere dotati di sicurezza computazionale.

 

L'aritmetica modulare gioca un ruolo determinante nei crittosistemi a chiave pubblica, in quanto consente di trasformare funzioni continue e strettamente crescenti, o decrescenti, in funzioni discontinue, introducendo un notevole fattore di incertezza nel calcolo delle loro inverse.

 

I problemi che appartengono alla classe non-deterministici (NP) sono caratterizzati dal fatto che sebbene sia facile verificare una soluzione non deterministica, Ŕ difficile trovare la soluzione corretta: in un NP al crescere della dimensione di n, il numero delle operazioni elementari cresce in proporzione a una funzione polinomiale di n (come n2), ma per tutti i metodi risolutivi noti il tempo di calcolo aumenta proporzionalmente a una funzione di n dalla crescita molto pi¨ rapida (come 2n). Le funzioni esponenziali crescono pi¨ rapidamente e ben presto i problemi NP diventano impossibili da computare.